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Indirekter Beweis
Aufgabe 1
Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 mit x\in{\mathbb N} eine gerade Zahl ist.
Lösung:
zu zeigen: Wenn x^2 gerade, dann x gerade (Wenn 2 \mid x^2, dann 2 \mid x).
Beispiele: 2^2 = 4 (gerade), 4^2 = 16 (gerade), 3^2 = 9 (ungerade)
Annahme: Wenn 2 \mid x^2, dann 2 \nmid x.
Beweis:
x \text{ ungerade: } 2k+1\text{, } k \in \N x^2 \text{gerade: } 2z \text{, } z \in \N \Rightarrow (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \Rightarrow = ungerade, da +1\Rightarrow \unicode{x021AF} Widerspruch, da x^2 gleichzeitig gerade und ungerade wäre.
Aufgabe 2
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die Gültigkeiten von \overline{A} und \overline{B} folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.
Lösung:
| Zeile | A | B | C | \overline{A} | \overline{B} | \overline{C} | A \Rightarrow B | B \Rightarrow C |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| |1 | W | W | W | F | F | F | W | W |
| |2 | W | W | F | F | F | W | W | F |
| |3 | W | F | W | F | W | F | F | W |
| |4 | W | F | F | F | W | W | F | W |
| |5 | F | W | W | W | F | F | W | W |
| |6 | F | W | F | W | F | W | W | F |
| |7 | F | F | W | W | W | F | W | W |
| |8 | F | F | F | W | W | W | W | W |
Nur in Zeile 8 folgen aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die Gültigkeiten von \overline{A} und \overline{B}, also wenn A, B und C nicht gelten.
| Zeile | \overline{A} | \overline{B} | \overline{C} | A \Rightarrow B | B \Rightarrow C |
|---|---|---|---|---|---|
| |8 | W | W | W | W | W |
Aufgabe 3
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
Lösung:
Laut den Zeilen 1, 5 und 7 aus der obigen Tabelle folgt, dass, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und C gelten, A und B entweder beide gelten, beide nicht gelten oder nur B, aber nicht A gilt.
| Zeile | A | B | C | A \Rightarrow B | B \Rightarrow C |
|---|---|---|---|---|---|
| |1 | W | W | W | W | W |
| |5 | F | W | W | W | W |
| |7 | F | F | W | W | W |
Kreativaufgabe
Das MU-Rätsel (MU puzzle)
MIU-System (Douglas R. Hofstadter)
Die Hauptfrage lautet: Ist MU ein Satz des MIU-Systems?
Symbole:
M, I, U
Axiom:
MI
Regeln:
(1) Wenn xI ein Satz ist, dann auch xIU.
(2) Wenn Mx ein Satz ist, dann auch Mxx.
(3) In jedem Satz kann III durch U ersetzt werden.
(4) UU kann aus jedem Satz weggelassen werden.