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Übungsaufgaben
Vorlesung 1
Wiederholen Sie die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen und geben Sie ein Beispiel an.
- Reflexivität: a\sim a
Jedes Objekt ist zu sich selbst äquivalent.
- Symmetrie: a\sim b \ \Rightarrow\ b\sim a
Wenn a zu b äquivalent ist, dann ist auch b äquivalent zu a (und umgekehrt).
- Transitivität: a\sim b\ \mathrm{und}\ b\sim c\ \Rightarrow\ a\sim c
Wenn a zu b äquivalent und b zu c äquivalent ist, dann ist a äquivalent zu c.
Beispiel: Ein Beispiel aus der Landwirtschaft soll die eingeführten Begriffe verdeutlichen. Betrachtet sei eine Menge M von Nutztieren in einem landwirtschaftlichen Betrieb. Wir definieren die folgende zweistellige Relation \sim auf M:
Für je zwei Nutztiere x und y aus M soll x\sim y genau dann gelten, wenn x und y Tiere derselben Art sind. Für die Kuh K und den Ochsen O gilt K\sim O. Für das Huhn H gilt aber nicht H\sim K. Die Relation \sim erfüllt die drei Forderungen für Äquivalenzrelationen:
- Reflexivität
Jedes Tier ist von derselben Art wie es selbst.
- Symmetrie
Ist ein Tier von derselben Art wie ein zweites, dann ist das zweite auch von derselben Art wie das erste.
- Transitivität
Wenn K und O Tiere derselben Art sind und ebenso O und L von derselben Art sind, dann sind auch K und L von derselben Art (nämlich von der Art, zu der dann jedes der drei Tiere gehört).
Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.
Die im Folg. definierte Funktion q : \R \mapsto \R ist an der Stelle x=3 undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol \bot.
q(x)=\begin{cases} \dfrac{35}{x-3}, & \text{wenn }x \neq 3\text{;}\\ \bot, & \text{sonst.} \end{cases}Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B. Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen: injektiv, surjektiv und bijektiv. Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.
Zeigen Sie, dass die Menge Z eine abzählbar unendliche Menge ist und setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, wonach doch Z eigentlich doppelt so viele Elemente besitzt, wie N.
Entwerfen Sie ein Aufbauschema zur systematischen Erzeugung aller Elemente aus ℘(M) für eine gegebene endliche Menge M und wenden Sie es auf einige selbstgewählte Beispiele an.