Übungsaufgaben - Indirekter Beweis

Aufgabe 1

Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 mit x \in \mathbb{N} eine gerade Zahl ist.

Aufgabe 2

Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die Gültigkeiten von A und B folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.

Aufgabe 3

Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.

Übungsaufgaben - Vollständige Induktion

Aufgabe 1

Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für Fibonacci-Zahlen nach Defintion in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion:

\sum_{k=1}^n F_k=F_{n+2}-1, \sum_{k=1}^n F_{2k}=F_{2n+1}-1 und \sum_{k=1}^n F_{2k-1}=F_{2n} für n \in \mathbb{N} und n \ge 1

Aufgabe 2

Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B. Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.

Aufgabe 3

Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen:

injektiv, surjektiv und bijektiv.

Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.

Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass die Menge \mathbb{Z} eine abzählbar unendliche Menge ist und setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, wonach doch \mathbb{Z} eigentlich doppelt so viele Elemente besitzt wie \mathbb{N}.