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Übungsaufgaben - Indirekter Beweis
Aufgabe 1
Beweisen Sie indirekt, dass x eine gerade Zahl ist, wenn x^2 mit x \in \mathbb{N} eine gerade Zahl ist.
Wenn-Dann-Form: Wenn x^2 eine gerade Zahl ist, dann ist x eine gerade Zahl. Anders geschrieben: Wenn 2|x^2, dann 2|x.
Annahme: x ist ungerade (x^2 bleibt gerade)
x=2k+1, mit k\in\mathbb{N}
x^2 = 4k^2+4k+1 = 2(4k^2+2k)+1, Subst: (4k^2+2k) = j \Rightarrow 2j+1 \Rightarrow x^2 ungerade \RigtharrowWiderspruch
2\not|x^2 \Rightarrow \underline{\underline{x}} \underline{\underline{gerade}}.
Aufgabe 2
Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} die Gultigkeiten von A und B folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer Wahrheitstabelle dar.
| A | B | C | \overline{C} | A\Rightarrow B | B\Rightarrow C | B\Rightarrow \overline{C} |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Die Aussagen treffen in der ersten Zeile der Wahrheitstabelle zu. A und B gelten nicht, also muss \overline{A} und \overline{B} gelten. (nicht sicher! Aussage überprüfen)
Aufgabe 3
Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass A \Rightarrow B, B \Rightarrow C und \overline{C} gelten? Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.
Übungsaufgaben - Vollständige Induktion
Aufgabe 1
Beweisen Sie die folgenden Beziehungen fur Fibonacci-Zahlen nach Defintion in obigem Beispiel mittels vollständiger Induktion: \sum_{k=1}^n F_k=F_{n+2}-1, \sum_{k=1}^n F_{2k}=F_{2n+1}-1 und \sum_{k=1}^n F_{2k-1}=F_{2n} für n \in \mathbb{N} und n \ge 1
Übungsaufgaben - Grundbegriffe
Aufgabe 1
Die im Folgenden definierte Funktion q:\mathbb{R}\Rightarrow\mathbb{R} ist an der Stelle x=3 undefiniert. Hierfür verwenden wir das Symbol \perp.
q(x)= \begin{cases} \frac{35}{x-3} & ,x\not=3\\ \perp & ,sonst \end{cases}Schreiben Sie ein Programm, das q berechnet.
Aufgabe 2
Geben Sie sich einige Definitionsbeispiele selbstgewählter Funktionen vor. Achten Sie darauf, dass es sich auch um (echte) partielle Funktionen handeln kann. Außerdem sollten Sie einige abschnittsweise definierte Funktionen, z.B. Briefporto, Zuzahlungen für Medikamente usw., aufnehmen.
Aufgabe 3
Wiederholen Sie die folgenden Eigenschaften von Funktionen:
injektiv, surjektiv und bijektiv.
Geben Sie aussagekräftige Beispiele an. Skizzieren Sie folgende Funktionen mittels Abbildungspfeilen aus X in Y : injektiv und surjektiv; injektiv, nicht surjektiv; nicht injektiv, surjektiv; nicht injektiv, nicht surjektiv.