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== Indirekter Beweis ==

==== Aufgabe 1 ====

Beweisen Sie indirekt, dass $x$ eine gerade Zahl ist, wenn $x^2$ mit $x\in{\mathbb N}$ eine gerade Zahl ist.

'''Lösung:'''

''zu zeigen:'' Wenn $x^2$ gerade, dann $x$ gerade (Wenn $2 \mid x^2$, dann $2 \mid x$).

''Beispiele:'' $2^2 = 4$ (gerade), $4^2 = 16$ (gerade), $3^2 = 9$ (ungerade)

''Annahme:'' Wenn $2 \mid x^2$, dann $2 \nmid x$.


''Beweis:'' 

$x \text{ ungerade: } 2k+1\text{, } k \in \N $

$x^2 \text{gerade: } 2z \text{, } z \in \N$

$\Rightarrow (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \Rightarrow = ungerade, da +1$

$\Rightarrow \unicode{x021AF}$ Widerspruch, da $x^2$ gleichzeitig gerade und ungerade wäre.

==== Aufgabe 2 ====

Beweisen Sie die Aussage, wonach aus der Gültigkeit der Aussagen $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $\overline{C}$ die Gültigkeiten von $\overline{A}$ und $\overline{B}$ folgen. Stellen Sie den Sachverhalt in einer
Wahrheitstabelle dar.

'''Lösung:'''

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!Zeile
!$A$
!$B$
!$C$
!$\overline{A}$
!$\overline{B}$
!$\overline{C}$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
||1|| W || W || W || F || F || F || W || W 
|-
||2|| W || W || F || F || F || W || W || F
|-
||3|| W || F || W || F || W || F || F || W
|-
||4|| W || F || F || F || W || W || F || W
|-
||5|| F || W || W || W || F || F || W || W
|-
||6|| F || W || F || W || F || W || W || F
|-
||7|| F || F || W || W || W || F || W || W
|-
||8|| F || F || F || W || W || W || W || W
|-
|}


Nur in Zeile 8 folgen aus der Gültigkeit der Aussagen $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $\overline{C}$ die Gültigkeiten von $\overline{A}$ und
$\overline{B}$, also wenn $A$, $B$ und $C$ nicht gelten.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!Zeile
!$\overline{A}$
!$\overline{B}$
!$\overline{C}$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
||8|| W || W || W || W || W
|-
|}

==== Aufgabe 3 ====

Was kann man über die Gültigkeit von A und B schließen, wenn bekannt ist, dass $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $C$ gelten?
Verwenden Sie die Tabelle aus der vorhergehenden Aufgabenlösung.

'''Lösung:'''

Laut den Zeilen 1, 5 und 7 aus der obigen Tabelle folgt, dass, wenn bekannt ist, dass $A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow C$ und $C$ gelten, $A$ und $B$ entweder beide gelten, beide nicht gelten oder nur $B$, aber nicht $A$ gilt.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
!Zeile
!$A$
!$B$
!$C$
!$A \Rightarrow B$
!$B \Rightarrow C$
|-
||1|| W || W || W || W || W 
|-
||5|| F || W || W || W || W
|-
||7|| F || F || W || W || W
|-
|}