BuK/IIm12/Studenten/sidahorb/uebung2

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== Aufgabe 1 ==
# Unzugängliches (wenigstens) für Computer
# Praktisch Unmögliches

Kommentieren Sie. Nennen Sie Beispiele.

Lösung:

Unzugängliches:
* es fehlt eine Beschreibungssprache <math>\Rightarrow</math> nicht maschinell verarbeitbar
* Probleme/Aufgaben sind oft komplex und besitzen viele (abhängige) Parameter
* Beispiele: "Gefallen ihr die Blumen?", "Werden alle Ostereier dieses Jahr verkauft?"
Praktisch Unmögliches:
* das sind Probleme die maschinell beschreibbar, jedoch aufgrund begrenzter Ressourcen nicht effizient lösbar sind.
* Beipsiele: n-Damen-Problem, Traveling-Salesman-Problem, Stundenplan-Problem

== Aufgabe 2 ==
Warum ist es so schwierig ein leistungsfähiges Schachprogramm zu entwerfen?

Lösung:

== Aufgabe 3 ==
Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen abzählbar unendlich sind: $\Z, \Q$, die Menge der Primzahlen, die geraden Zahlen.

Lösung:

== Aufgabe 4 ==
Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn $M_{1}, M_{2}, M_{3} ...$ abzählbare Mengen sind, dann ist auch die Menge $\bigcup_{n=1}^\infty {M_{n}}$ abzählbar.

Lösung:

== Aufgabe 5 ==
Verifizieren Sie, dass die folgende Funktion $f:\N^+ \rightarrow \Q^+$ eine bijektive Funktion ist und implementieren Sie eine Prozedur, die die zugehörige Umkehrfunktion $f^{-1}$ berechnet.

$$f(n) = \begin{cases}
1, & \text{wenn } n=1;\\
f(\frac{n}{2})+1, & \text{wenn } n \text{ gerade};\\
\frac{1}{f(n-1)}, & \text{wenn } n \text{ ungerade}.
\end{cases}$$

# Schreiben Sie als erstes eine Scheme-Prozedur für $f$ und führen Sie einige rekursive Berechnungen aus.
# Berechnen Sie $f(n)$ für $n = 1,2,....,7$ mit Hand.
# Verbessern Sie die Effizienz der Prozedur für $f$ mittels memoizing.

Lösung:

== Aufgabe 6 ==
Zeigen Sie, dass $\mathbb{R}$ überabzählbar unendlich ist.

Hinweis: Es reicht schon aus zu zeigen, dass es im Intervall [0, 1] überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Lösung: